题目内容
已知O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．（1）若
| OA |
| a |
| OB |
| b |
| OC |
| c |
| OH |
| h |
| a |
| b |
| c |
| h |
（2）证明：
| AH |
| BC |
（3）若△ABC的∠A=60°，∠B=45°，外接圆的半径为R，用R表示|
| h |
分析：（1）利用向量加法的平行四边形法则，用已知向量表示向量
（2）要证明向量
⊥
，只要证明
•
=0，利用O是三角形的外心，可得|
|=|
|=|
|，然后用向量
，
，
表示
（3）利用已知的角，结合向量的数量积把已知的
=
+
+
两边平方整理可得外接圆半径
| c |
（2）要证明向量
| AH |
| BC |
| AH |
| BC |
| OA |
| OB |
| OC |
| a |
| b |
| c |
| h |
（3）利用已知的角，结合向量的数量积把已知的
| h |
| a |
| b |
| c |
解答：解：（1）由平行四边形法则可得：
=
+
=
+
+
即
=
+
+
（2）∵O是△ABC的外心，
∴|
|=|
|=|
|，
即|
|=|
|=|
|，而
=
-
=
-
=
+
，
=
-
=
-
∴
•
=(
+
•(
-
)=|
|-|
|=0，∴
⊥
（3）在△ABC中，O是外心A=60°，B=45°
∴∠BOC=120°，∠AOC=90°
于是∠AOB=150°|
|2=（
+
+
)2=
2+
2+
2+2
•
+2
•
+2
•
=3R2+2|
|•|
|•cos150°+2|
|•|
|•cos90 °+2|
|•|
|•cos120°
=（2-
）R2
∴|
|=
R
| OH |
| OC |
| OD |
| OC |
| OA |
| OB |
即
| h |
| a |
| b |
| c |
（2）∵O是△ABC的外心，
∴|
| OA |
| OB |
| OC |
即|
| a |
| b |
| c |
| AH |
| OH |
| OA |
| h |
| a |
| b |
| c |
| CB |
| OB |
| OC |
| b |
| c |
∴
| AH |
| CB |
| b |
| c) |
| b |
| c |
| b |
| c |
| AH |
| CB |
（3）在△ABC中，O是外心A=60°，B=45°
∴∠BOC=120°，∠AOC=90°
于是∠AOB=150°|
| h |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
=3R2+2|
| a |
| b |
| a |
| c |
| b |
| c |
=（2-
| 3 |
∴|
| h |
| ||||
| 2 |
点评：本题主要考查向量的加法的平行四边形法则，两向量垂直的证明方法及向量数量积的定义，综合运用向量的知识，解决问题的关键是熟练掌握向量的基本知识．
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