Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且经过点

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在经过点的直线，它与椭圆相交于两个不同点，且满足为坐标原点）关系的点也在椭圆上，如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ； (2)存在，

【解析】

（1）根据椭圆离心率为，得，将点代入椭圆方程，即可求解；

（2）分类讨论当斜率不存在时和斜率存在时直线是否满足题意，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理用点的坐标代入运算即可求解.

解：（1）由椭圆的离心率为，得，再由点在椭圆上，得

解得，所以椭圆的方程为.

（2）因为点在椭圆内部，经过点的直线与椭圆恒有两个交点，假设直线存在，

当斜率不存在时，经过点的直线的方程，与椭圆交点坐标为

或，

当时，

，

所以，，

点不在椭圆上；

当时，

，

同上可得：不在椭圆上，

所以直线不合题意；

当斜率存在时：设

，

设，由韦达定理得

因为点在椭圆上，因此得，

由，

由于点也在椭圆上，则

，整理得，

，即

所以

因此直线的方程为