Question

18．如图是函数f（x）=2sinωx•cosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$（ω＞0）的一部分图象．
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，已知a=3，b+c=6，求f（A-$\frac{π}{3}$）的最大值．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），由图象可得周期，由周期公式可得ω=1；
（2）由已知式子和基本不等式可得bc≤9，再由余弦定理可得cosA≥$\frac{1}{2}$，可得0＜A≤$\frac{π}{3}$，而f（A-$\frac{π}{3}$）=2sin（2A-$\frac{π}{3}$），由三角函数的最值可得．

解答 解：（1）化简可得f（x）=2sin•c+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$
=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
由图象可知周期T满足$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{12}$-（-$\frac{π}{6}$），∴T=π，
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1；
（2）∵a=3，b+c=6，∴36=（b+c）²=b²+c²+2bc≥4bc，
∴bc≤9，由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{bc}$=$\frac{36-2bc-9}{2bc}$=$\frac{27}{2bc}$-1≥$\frac{1}{2}$，
∴0＜A≤$\frac{π}{3}$，∴f（A-$\frac{π}{3}$）=2sin[2（A-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$）]=2sin（2A-$\frac{π}{3}$），
由0＜A≤$\frac{π}{3}$可得-$\frac{π}{3}$＜2A-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{3}$，故当2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$时，f（A-$\frac{π}{3}$）取最大值$\sqrt{3}$

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期性和余弦定理以及基本不等式，属中档题．