Question

如图2-5-14,已知AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD⊥AB于D,以C为圆心,CD为半径作⊙C交⊙O于E、F,连结EF交CD于M.

求证:CM=MD.

图2-5-14

Answer 1

证明:双向延长CD分别交⊙O、⊙C于Q、P,

∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,

∴CD=DQ.

∵CD=PC,∴PC=DQ.

根据相交弦定理得CM·MQ=EM·MF=MD·MP.

∴CM(MD+DQ)=MD(MC+PC).

∴CM·MD+CM·DQ=MD·MC+MD·PC.

∴CM·DQ=MD·PC.

又∵DQ=PC,

∴CM=MD.