题目内容

已知两个不共线的向量
OA
，
OB
的夹角为θ（θ为定值），且|
OA
|=3，|
OB
|=2．
（1）若θ=
π
3
，求
OA
•
AB
的值；
（2）若点M在直线OB上，且|
OA
+
OM
|的最小值为
3
2
，试求θ的值．
解法一：（1）
OA
•
AB
=
OA
•(
OB
-
OA
)=-
OA
2+
OA
•
OB

=-|
OA
|2+|
OA
||
OB
|cosθ=-9+3×2×
1
2
=-6（6分）
（2）设
OM
=λ
OB
，
则显然λ≠0
|
OA
+
OM
|2=
OA
2+2
OA
•
OM
+
OM
2
①当λ＞0时
|
OA
+
OM
|2=|
OA
|2+2|
OA
|•|
OM
|cosθ+|
OM
|2
=9+12cosθ•λ+4λ2（*）（8分）
要使得（*）有最小值，
其对称轴λ=-
3
2
cosθ＞0，
即cosθ＜0
故|
OA
+
OM
|2min=
144-144cos2θ
16
=
9
4
，
解得cosθ=-
3
2
（10分）
又0°≤θ≤180°
∴θ=150°（12分）
②当λ＜0时
|
OA
+
OM
|2=|
OA
|2-2|
OA
|•|
OM
|cosθ+|
OM
|2
=9+12cosθ•λ+4λ2（#）
要使得（#）有最小值，
其对称轴λ=-
3
2
cosθ＜0，
即cosθ＞0
故|
OA
+
OM
|2min=
144-144cos2θ
16
=
9
4
，
解得cosθ=
3
2

又0°≤θ≤180°
∴θ=30°（15分）
综上所述，θ=30°或150°（16分）
法二：以O为坐标原点，OB方向为X轴正方向，建立平面直角坐标系，
则A（3cosθ，3sinθ），B（2，0）
（1）当θ=
π
3
时，
OA
=(
3
2
，
3
3
2
)，
AB
=(
1
2
，-
3
3
2
)（3分）
∴
OA
•
AB
=
3
4
-
27
4
=-6（6分）
（2）设
OM
=(2λ，0)，
则
OA
+
OM
=(3cosθ+2λ，3sinθ)（8分）
|
OA
+
OM
|2=(3cosθ+2λ)2+9sin2θ=4λ2+12cosθ•λ+9（10分）
当λ=-
3
2
cosθ时，
|
OA
+
OM
|2min=
144-144cos2θ
16
=
9
4

解得cosθ=±
3
2
（14分）
又0°≤θ≤180°
∴θ=30°或150°（16分）
练习册系列答案
相关题目
已知两个不共线的向量a，b满足a+2xb=xa+yb，那么实数x，y的值分别是（　　）
A、0，0B、1，2C、0，1D、2，1
已知两个不共线的向量
a
，
b
满足
a
=(1，
3
)，
b
=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
（1）若2
a
-
b
与
a
-7
b
垂直，求向量
a
与
b
的夹角；
（2）当θ∈[0，
π
2
]时，若存在两个不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|成立，求正数m的取值范围．
已知两个不共线的向量
a
，
b
，它们的夹角为θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x为正实数．
（1）若
a
+2
b
与
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及对应的x的值，并判断此时向量
a
与x
a
-
b
是否垂直？
已知两个不共线的向量
a
，
b
，它们的夹角为θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，若
a
+
b
与
a
-4
b
垂直，则sin(θ+
π
6
)=
 
．
已知两个不共线的向量
a
，
b
的夹角为θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x为正实数．
（1）若
a
+2
b
与
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及对应的x的值，并指出此时向量
a
与x
a
-
b
的位置关系；
（3）若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围．

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