题目内容

已知两个不共线的向量
a
，
b
，它们的夹角为θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，若
a
+
b
与
a
-4
b
垂直，则sin(θ+
π
6
)=
 
．
分析：根据
a
+
b
与
a
-4
b
垂直算出
a
•
b
=
5
3
，利用向量的夹角公式可得cosθ=
5
9
，结合θ∈（0，π）利用同角三角函数的关系算出sinθ=
56
9
，再由两角和的正弦公式加以计算，可得sin(θ+
π
6
)的值．
解答：解：∵|
a
|=3，|
b
|=1，
a
+
b
与
a
-4
b
垂直，
∴（
a
+
b
）•（
a
-4
b
）=0，即
a
2-3
a
•
b
-4
b
2=0，
可得9-3
a
•
b
-4×1=0，解之得
a
•
b
=
5
3
．
∵
a
、
b
的夹角为θ，∴cosθ=
a
•
b
|a|
•
|b|
=
5
9
，
又∵θ∈（0，π），∴sinθ=
1-cos2θ
=
56
9
．
因此，sin(θ+
π
6
)=sinθcos
π
6
+cosθsin
π
6
=
56
9
×
3
2
+
5
9
×
1
2
=
2
42
+5
18
．
故答案为：
2
42
+5
18
．
点评：本题以两角和的正弦公式为载体，着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、两个向量垂直的条件、向量的夹角公式与同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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已知两个不共线的向量a，b满足a+2xb=xa+yb，那么实数x，y的值分别是（　　）
A、0，0B、1，2C、0，1D、2，1
已知两个不共线的向量
a
，
b
满足
a
=(1，
3
)，
b
=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
（1）若2
a
-
b
与
a
-7
b
垂直，求向量
a
与
b
的夹角；
（2）当θ∈[0，
π
2
]时，若存在两个不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|成立，求正数m的取值范围．
已知两个不共线的向量
a
，
b
，它们的夹角为θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x为正实数．
（1）若
a
+2
b
与
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及对应的x的值，并判断此时向量
a
与x
a
-
b
是否垂直？
已知两个不共线的向量
a
，
b
的夹角为θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x为正实数．
（1）若
a
+2
b
与
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及对应的x的值，并指出此时向量
a
与x
a
-
b
的位置关系；
（3）若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围．

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