题目内容

已知两个不共线的向量
a
b
的夹角为θ,且|
a
|=3,|
b
|=1,x为正实数.
(1)若
a
+2
b
a
-4
b
垂直,求tanθ;
(2)若θ=
π
6
,求|x
a
-
b
|的最小值及对应的x的值,并指出此时向量
a
与x
a
-
b
的位置关系;
(3)若θ为锐角,对于正实数m,关于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有两个不同的正实数解,且x≠m,求m的取值范围.
分析:(1)利用
a
+2
b
a
-4
b
垂直,(
a
+2
b
)•(
a
-4
b
)=0,可得,化简,即可求出tanθ;
(2)将模平方,结合二次函数的性质,可求|x
a
-
b
|的最小值及对应的x的值,利用数量积公式,可确定向量
a
与x
a
-
b
的位置关系;
(3)方程|x
a
-
b
|=|m
a
|,等价于9x2-3cosθx+1-9m2=0,利用关于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有两个不同的正实数解,建立不等式,即可确定结论.
解答:解:(1)∵
a
+2
b
a
-4
b
垂直,
∴(
a
+2
b
)•(
a
-4
b
)=0
a
2
-2
a
b
-8
b
2
=0

∵|
a
|=3,|
b
|=1,
∴9-6cosθ-8=0
∴cosθ=
1
6

∵θ∈[0,π]
∴sinθ=
35
6

tanθ=
sinθ
cosθ
=
35

(2)θ=
π
6
,|x
a
-
b
|2=9x2-
3
x+1

x=-
-
3
18
=
3
18
时,|x
a
-
b
|的最小值为
132
12

此时
a
•(x
a
-
b
)=9x-3•
3
2
=0,
a
与x
a
-
b
垂直;
(3)方程|x
a
-
b
|=|m
a
|,等价于9x2-3cosθx+1-9m2=0
∵关于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有两个不同的正实数解,
9cos2θ-36(1-9m2)>0
cosθ
3
>0
1-9m2
9
>0

-
1
3
<m<-
3
6
3
6
<m<
1
3
点评:本题考查向量的数量积公式,考查方程根的研究,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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