题目内容
已知两个不共线的向量
,
的夹角为θ,且|
|=3,|
|=1,x为正实数.
(1)若
+2
与
-4
垂直,求tanθ;
(2)若θ=
,求|x
-
|的最小值及对应的x的值,并指出此时向量
与x
-
的位置关系;
(3)若θ为锐角,对于正实数m,关于x的方程|x
-
|=|m
|有两个不同的正实数解,且x≠m,求m的取值范围.
a |
b |
a |
b |
(1)若
a |
b |
a |
b |
(2)若θ=
π |
6 |
a |
b |
a |
a |
b |
(3)若θ为锐角,对于正实数m,关于x的方程|x
a |
b |
a |
分析:(1)利用
+2
与
-4
垂直,(
+2
)•(
-4
)=0,可得,化简,即可求出tanθ;
(2)将模平方,结合二次函数的性质,可求|x
-
|的最小值及对应的x的值,利用数量积公式,可确定向量
与x
-
的位置关系;
(3)方程|x
-
|=|m
|,等价于9x2-3cosθx+1-9m2=0,利用关于x的方程|x
-
|=|m
|有两个不同的正实数解,建立不等式,即可确定结论.
a |
b |
a |
b |
a |
b |
a |
b |
(2)将模平方,结合二次函数的性质,可求|x
a |
b |
a |
a |
b |
(3)方程|x
a |
b |
a |
a |
b |
a |
解答:解:(1)∵
+2
与
-4
垂直,
∴(
+2
)•(
-4
)=0
∴
2-2
•
-8
2=0
∵|
|=3,|
|=1,
∴9-6cosθ-8=0
∴cosθ=
∵θ∈[0,π]
∴sinθ=
∴tanθ=
=
;
(2)θ=
,|x
-
|2=9x2-
x+1
∴x=-
=
时,|x
-
|的最小值为
此时
•(x
-
)=9x-3•
=0,
∴
与x
-
垂直;
(3)方程|x
-
|=|m
|,等价于9x2-3cosθx+1-9m2=0
∵关于x的方程|x
-
|=|m
|有两个不同的正实数解,
∴
∴-
<m<-
或
<m<
.
a |
b |
a |
b |
∴(
a |
b |
a |
b |
∴
a |
a |
b |
b |
∵|
a |
b |
∴9-6cosθ-8=0
∴cosθ=
1 |
6 |
∵θ∈[0,π]
∴sinθ=
| ||
6 |
∴tanθ=
sinθ |
cosθ |
35 |
(2)θ=
π |
6 |
a |
b |
3 |
∴x=-
-
| ||
18 |
| ||
18 |
a |
b |
| ||
12 |
此时
a |
a |
b |
| ||
2 |
∴
a |
a |
b |
(3)方程|x
a |
b |
a |
∵关于x的方程|x
a |
b |
a |
∴
|
∴-
1 |
3 |
| ||
6 |
| ||
6 |
1 |
3 |
点评:本题考查向量的数量积公式,考查方程根的研究,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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已知两个不共线的向量a,b满足a+2xb=xa+yb,那么实数x,y的值分别是( )
A、0,0 | B、1,2 | C、0,1 | D、2,1 |