题目内容

已知两个不共线的向量
a
，
b
满足
a
=(1，
3
)，
b
=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
（1）若2
a
-
b
与
a
-7
b
垂直，求向量
a
与
b
的夹角；
（2）当θ∈[0，
π
2
]时，若存在两个不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|成立，求正数m的取值范围．
分析：（1）利用条件2
a
-
b
与
a
-7
b
垂直，建立方程关系，先求
a
•
b
，然后求向量夹角．
（2）利用三角函数的性质得到关于θ的方程，结合三角函数的图象进行化简求范围．
解答：解：（1）∵2
a
-
b
与
a
-7
b
垂直，∴（2
a
-
b
）•（
a
-7
b
）=0，
即2
a
2+7
b
2-15
a
?
b
=0
∵
a
=(1，
3
)，
b
=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
∴|
a
|=2，|
b
|=1，
即2×22+7-15
a
?
b
=0，
解得
a
?
b
=1，
∴设向量
a
与
b
的夹角为θ，则cos?θ=
a
?
b
|
a
|?|
b
|
=
1
2×1
=
1
2
，
∴θ=
π
3
．
（2）∵
a
=(1，
3
)，
b
=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
∴|
a
|=2，|
b
|=1，
a
?
b
=cos?θ+
3
sin?θ=2sin?(θ+
π
6
)，
由|
a
+
3
b
|=|m
a
|，得
a
2+2
3
a
?
b
+3
b
2=m2
a
2，
即4m2=7+4
3
sin?(θ+
π
6
)，
∵θ∈[0，
π
2
]，
∴
π
6
≤θ+
π
6
≤
2π
3
，
则要存在两个不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|成立，
则
π
3
≤θ+
π
6
≤
2π
3
且θ+
π
6
≠
π
2

此时
3
2
≤sin?(θ+
π
6
)＜1，
∴13≤7+4
3
sin?(θ+
π
6
)＜7+4
3
，
即13≤4m2＜7+4
3
，
∴
13
4
≤m2＜
7+4
3
4
=(
2+
3
2
)2，
∵m＞0，
∴
13
2
≤m＜
2+
3
2
．
点评：本题主要考查平面向量的数量积以及利用向量和三角函数之间的关系的化简和求值，综合性较强，运算量较大．
练习册系列答案
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已知两个不共线的向量a，b满足a+2xb=xa+yb，那么实数x，y的值分别是（　　）
A、0，0B、1，2C、0，1D、2，1
已知两个不共线的向量
a
，
b
，它们的夹角为θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x为正实数．
（1）若
a
+2
b
与
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及对应的x的值，并判断此时向量
a
与x
a
-
b
是否垂直？
已知两个不共线的向量
a
，
b
，它们的夹角为θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，若
a
+
b
与
a
-4
b
垂直，则sin(θ+
π
6
)=
 
．
已知两个不共线的向量
a
，
b
的夹角为θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x为正实数．
（1）若
a
+2
b
与
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及对应的x的值，并指出此时向量
a
与x
a
-
b
的位置关系；
（3）若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围．

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