Question

函数f（x）=的零点个数是

1. A.
   0
2. B.
   1
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：当x＜0时，解方程x²+2x=0，得函数的零点为x=-2；当x≥0时，利用导数研究函数的单调性，得f（x）是[0，+∞）上的增函数，再结合函数零点存在性定理可得f（x）在[0，+∞）上有一个零点．由此可得本题的答案．
解答：∵f（x）=
∴①当x＜0时，f（x）=0即x²+2x=0，解之得x=-2（舍去0）
②当x≥0时，f（x）=0即e^x-x-2=0，
∵f'（x）=e^x-1，可得当x∈[0，+∞）时f'（x）≥0
∴f（x）是[0，+∞）上的增函数
又∵f（0）=-1＜0，f（2）=e²-4＞0
∴f（x）在[0，+∞）上有一个零点
综上所述，函数f（x）的零点有且只有两个
故选：C
点评：本题给出分段函数，求函数零点的个数．着重考查了一元二次方程的解法、利用导数研究函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于中档题．