Question

对于函数，若时，恒有成立，则称函数是上 的“函数”.

(Ⅰ)当函数是定义域上的“函数”时，求实数的取值范围；

(Ⅱ)若函数为上的“函数”.

（ⅰ）试比较与的大小（其中）；

（ⅱ）求证：对于任意大于的实数，，，，均有.

Answer 1

(Ⅰ) ；（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：(Ⅰ)由，可得，因为函数是函数所以即；(Ⅱ) （ⅰ）构造函数，易得为上的增函数，当时，，即，得，当时，，即，得，当时，，即，得；

（ⅱ）因，所以所以，

整理得，同理可得，相加即可得到证明

试题解析：.(Ⅰ)由，可得，因为函数是函数，

所以，即，因为，

所以，即的取值范围为. 4分

(Ⅱ)①构造函数,，则，

可得为上的增函数， 6分

当时，，即，得

当时，，即，得

当时，，即，得 .9分

②因为，所以， 10分

由①可知,所以，

整理得，

同理可得， , .

把上面个不等式同向累加可得

14分

考点：导数的综合应用、不等式证明