Question

若矩阵A有特征值λ₁=2,λ₂=-1,它们所对应的特征向量分别为e₁=和e₂=.
(1)求矩阵A.
(2)求曲线x²+y²=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程.

Answer 1

(1) A=  (2) +y²=1

(1)设A=,由Ae₁=λ₁e₁,Ae₂=λ₂e₂得
=2=,
=-1×=,
∴∴A=.
(2)设曲线x²+y²=1上任意一点(x,y)在矩阵A对应的变换作用下得到的点为(x',y'),
则=,即
所以从而(x')²+(-y')²=1,
即+y'²=1,
∴所求新曲线方程为+y²=1.