Question

【题目】若函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+2）x在 处取得极大值，则正数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（0，2）
【解析】解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）= +2ax﹣（a+2）= ，
①a≤0时，ax﹣1＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＞ ，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，
故 是函数的极小值点，不合题意，
②0＜a＜2时， ＜ ，
令f′（x）＞0，解得：x＜ 或x＞ ，
令f′（x）＜0，解得： ＜x＜ ，
∴f（x）在（0， ）递增，在（ ， ）递减，在（ ，+∞）递增，
∴函数f（x）在 处取得极大值，符合题意，
③a=2时，f′（x）≥0，f（x）递增，无极值，
④a＞2时， ＞ ，
令f′（x）＞0，解得：x＞ 或x＜ ，
令f′（x）＜0，解得： ＜x＜ ，
∴f（x）在（0， ）递增，在（ ， ）递减，在（ ，+∞）递增，
∴函数f（x）在x= 处取得极大值，不符合题意，
综上，a∈（0，2），
所以答案是：（0，2）．
【考点精析】掌握函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．