题目内容

如图，已知圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M必在点N的右侧），且|MN|=3，已知椭圆D： $数学公式$ 的焦距等于2|ON|，且过点 $数学公式$ ．
（ I ）求圆C和椭圆D的方程；
（Ⅱ）若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．

（I）解：①设圆的半径为r，则圆心为（r，2），
由|MN|=3，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得r= $\text{[math]}$ ．
所以⊙C的方程为 $\text{[math]}$ ．
令y=0，解得x=1或4．
∴N（1，0），M（4，0）．
∴2c=2，得c=1．
②∵椭圆过点 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
联立 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
（II）设直线l的方程为y=k（x-4），
联立 $\text{[math]}$ 消去y得到（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∵k_AN+k_BN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ [2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8]
= $\text{[math]}$
=0．
∴k_AN=-k_BN．
当x₁=1或x₂=1时， $\text{[math]}$ ，此时方程（*）的△=0，不合题意，应舍去．
因此直线NA与直线NB的倾角互补．
分析：（I）①设圆的半径为r，则圆心为（r，2），由|MN|=3，利用垂径定理得 $\text{[math]}$ 即可解得r．于是得到圆的方程，可求得点N，M的坐标．
②由①得到2c，得到a²=b²+c²；又椭圆过点 $\text{[math]}$ ，代入椭圆的方程又得到关于a，b的一个方程，联立即可解出a，b，进而得到椭圆的方程．
（II）设直线l的方程为y=k（x-4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，表示出k_AN+k_BN，证明其和等于0即可．
点评：熟练掌握圆的标准方程、垂径定理、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、
直线NA与直线NB的倾角互补（斜率存在）?k_AN+k_BN=0等是解决问题的关键．