Question

（2013•潍坊一模）如图，已知圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M必在点N的右侧），且|MN|=3，已知椭圆D：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距等于2|ON|，且过点(

2

，

6

2

)．
（ I ） 求圆C和椭圆D的方程；
（Ⅱ） 若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．

Answer 1

分析：（I）①设圆的半径为r，则圆心为（r，2），由|MN|=3，利用垂径定理得r2=(

3

2

)2+22即可解得r．于是得到圆的方程，可求得点N，M的坐标．
②由①得到2c，得到a²=b²+c²；又椭圆过点(

2

，

6

2

)，代入椭圆的方程又得到关于a，b的一个方程，联立即可解出a，b，进而得到椭圆的方程．
（II）设直线l的方程为y=k（x-4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，表示出k_AN+k_BN，证明其和等于0即可．

解答：（I）解：①设圆的半径为r，则圆心为（r，2），
由|MN|=3，得r2=(

3

2

)2+22=

25

4

，解得r=

5

2

．
所以⊙C的方程为(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

．
令y=0，解得x=1或4．
∴N（1，0），M（4，0）．
∴2c=2，得c=1．
②∵椭圆过点(

2

，

6

2

)，∴

2

a2

+

3

2b2

=1．
联立

2 a2 + 3 2b2 =1 a2=b2+1

，解得

a2=4 b2=3

．
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）设直线l的方程为y=k（x-4），
联立

y=k(x-4) 3x2+4y2=12

消去y得到（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

．
∵k_AN+k_BN=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=

k(x1-4)

x1-1

+

k(x2-4)

x2-1

=

k

(x1-1)(x2-1)

[2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8]
=

k

(x1-1)(x2-1)

[

2(64k2-12)

3+4k2

-

160k2

3+4k2

+8]
=0．
∴k_AN=-k_BN．
当x₁=1或x₂=1时，k=±

1

2

，此时方程（*）的△=0，不合题意，应舍去．
因此直线NA与直线NB的倾角互补．

点评：熟练掌握圆的标准方程、垂径定理、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、
直线NA与直线NB的倾角互补（斜率存在）?k_AN+k_BN=0等是解决问题的关键．