Question

如图边长为2的正方形花园的一角是以A为中心，1为半径的扇形水池．现需在其余部分设计一个矩形草坪PNCQ，其中P是水池边上任意一点，点N、Q分别在边BC和CD上，设∠PAB为θ．
（I）用θ表示矩形草坪PNCQ的面积，并求其最小值；
（II）求点P到边BC和AB距离之比

PN

PM

的最小值．

Answer 1

分析：（I）先利用∠PAB为θ，|AP|=1?AM=COSθ，PM=sinθ，?矩形草坪PNCQ面积S=（2-cosθ）（2-sinθ），向下整理得[sin(θ+

π

4

)-

2

]2-2+

7

2

，再利用二次函数在闭区间上的最值求法即可求矩形草坪PNCQ的面积的最小值；
（II）先求得y=

PN

PM

=

2-cosθ

sinθ

，再求其导函数，利用其导函数研究出原函数在给定区间上的单调性，进而求出其最小值．

解答：解：（I）因为∠PAB为θ，|AP|=1．
∴AM=COSθ，PM=sinθ，
PN=2-cosθ，PQ=2-sinθ，
∴矩形草坪PNCQ面积S=（2-cosθ）（2-sinθ）
=4-2（sinθ+cosθ）+sinθ•cosθ
=4-2（sinθ+cosθ）+

(sinθ+cosθ)2-1

2

=

7

2

-2

2

sin（θ+

π

4

）+

[ 2 sin(θ+ π 4 )]2

2

=sin²（θ+

π

4

）-2

2

sin（θ+

π

4

）+

7

2

=[sin(θ+

π

4

)-

2

]2-2+

7

2

．
∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]．sin（θ+

π

4

）∈[

2

2

，1]．
∴当sin（θ+

π

4

）=1，即θ=

π

4

时，面积有最小值此时s=(1-

2

)2-2+

7

2

=

9

2

-2

2

．
故当θ=

π

4

，最小值为

9

2

-2

2

；（6分）
（II）∵y=

PN

PM

=

2-cosθ

sinθ

∴y′=

1-2cosθ

sin2θ

(0≤θ≤

π

2

)，令1-2cosθ=0?θ=

π

3

．

θ	0	(0， π 3 )	π 3	( π 3 ， π 2 )	π 2
y′ y		- ↘	0 极小	+ ↗

所以当θ=

π

3

时，ymin=

3

（12分）

点评：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值，是对二次函数，三角函数等知识的综合考查，属于中档题．