题目内容

如图边长为2的正方形花园的一角是以A为中心，1为半径的扇形水池．现需在其余部分设计一个矩形草坪PNCQ，其中P是水池边上任意一点，点N、Q分别在边BC和CD上，设∠PAB为θ．
（I）用θ表示矩形草坪PNCQ的面积，并求其最小值；
（II）求点P到边BC和AB距离之比 $数学公式$ 的最小值．

解：（I）因为∠PAB为θ，|AP|=1．
∴AM=COSθ，PM=sinθ，
PN=2-cosθ，PQ=2-sinθ，
∴矩形草坪PNCQ面积S=（2-cosθ）（2-sinθ）
=4-2（sinθ+cosθ）+sinθ•cosθ
=4-2（sinθ+cosθ）+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
=sin²（ $\text{[math]}$ ）-2 $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ -2+ $\text{[math]}$ ．
∵θ∈[0， $\text{[math]}$ ]，∴ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ]．sin（ $\text{[math]}$ ）∈[ $\text{[math]}$ ，1]．
∴当sin（ $\text{[math]}$ ）=1，即θ= $\text{[math]}$ 时，面积有最小值此时s= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故当 $\text{[math]}$ ，最小值为 $\text{[math]}$ ；（6分）
（II）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，令1-2cosθ=0? $\text{[math]}$ ．

θ	0	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$		- ↘	0 极小	+ ↗

所以当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ （12分）
分析：（I）先利用∠PAB为θ，|AP|=1?AM=COSθ，PM=sinθ，?矩形草坪PNCQ面积S=（2-cosθ）（2-sinθ），向下整理得 $\text{[math]}$ -2+ $\text{[math]}$ ，再利用二次函数在闭区间上的最值求法即可求矩形草坪PNCQ的面积的最小值；
（II）先求得 $\text{[math]}$ ，再求其导函数，利用其导函数研究出原函数在给定区间上的单调性，进而求出其最小值．
点评：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值，是对二次函数，三角函数等知识的综合考查，属于中档题．