Question

已知椭圆过点，其焦距为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处

的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：

（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正

半轴交于两点，求面积的最小值；

（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为

．当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；

若不存在，请说明理由．

 

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求解即可；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．

试题解析：（I）【解析】
依题意得：椭圆的焦点为，由椭圆定义知：

，所以椭圆的方程为．

（II）（ⅰ）设，则椭圆在点B处的切线方程为

令，，令，所以

又点B在椭圆的第一象限上，所以

，当且仅当

所以当时，三角形OCD的面积的最小值为

（Ⅲ）设，则椭圆在点处的切线为：

又过点，所以，同理点也满足，

所以都在直线上，

即：直线MN的方程为

所以原点O到直线MN的距离，

所以直线MN始终与圆相切．

考点：(1)椭圆的方程以及直线与椭圆的综合问题，同时考查了转化的思想和分析问题的能力 ．