Question

已知f(x)=e^x-t(x+1).
（1）若f(x)≥0对一切正实数x恒成立，求t的取值范围；
（2）设，且A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)(x₁≠x₂)是曲线y=g(x)上任意两点，若对任意的t≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）求证：(n∈N*).

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见解析.

解析试题分析：（1）对函数求导数，分离变量得，再设，用导数法判断的单调性、极值，从而求出的取值范围；（2）设x₁、x₂是任意的两实数，且x₁<x_2，
，则，构造函数，则函数在上是增函数，即恒成立，即对任意的t≤-1，x∈R，恒成立，再用均值不等式求的最小值，从而求得；（3）由（1）知，，得，令，放缩得，把
取，则
取，则
而用导数法
（1）(x>0)恒成立.
设(x≥0)，则，
∴在单调递增，（x=1时取等号），
∴t≤1         4分.
（2）设x₁、x₂是任意的两实数，且x₁<x_2，
，故，
设，则F(x)在R上单增，（7分）
即恒成立.
即对任意的t≤-1，x∈R，恒成立.
而
故m<3.（9分）
（3）由（1）知，
取，则


∴(n∈N*).（14分）
考点：导数法，分离变量法，放缩法证明不等式.