题目内容

讨论函数f（x）=x+ $数学公式$ （a＞0）的单调性．

解：f（x）=x+ $\text{[math]}$ （a＞0），
∵定义域为{x|x∈R，且x≠0}且
f（-x）=-x+ $\text{[math]}$ =-（x+ $\text{[math]}$ ）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数，
所以先讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性．
设x₁＞x₂＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+ $\text{[math]}$ -x₂- $\text{[math]}$ =（x₁-x₂）（1- $\text{[math]}$ ），
∵当0＜x₂＜x₁≤ $\text{[math]}$ 时，恒有 $\text{[math]}$ ＞1．
则f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数．
当x₁＞x₂≥ $\text{[math]}$ 时，恒有0＜ $\text{[math]}$ ＜1，
则f（x₁）-f（x₂）＞0，故f（x）在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数．
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，- $\text{[math]}$ ]上为增函数；
f（x）在[- $\text{[math]}$ ，0）上为减函数．
综上知f（x）在（-∞，- $\text{[math]}$ ]，[ $\text{[math]}$ ，+∞）上为增函数；f（x）在[- $\text{[math]}$ ，0），（0， $\text{[math]}$ ]上为减函数．
分析：根据函数的解析式，我们易判断出函数的定义域和奇偶性，然后利用作差法，我们先讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性．再根据奇函数在对称区间上单调性相同，易判断出函数f（x）=x+ $\text{[math]}$ （a＞0）的单调性．
点评：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，作差法是证明和判断单调性时最常用的方法，利用奇函数在对称区间上单调性相同能简化本题的解题步骤．