题目内容
讨论函数f（x）=x+| a | x |
分析：根据函数的解析式，我们易判断出函数的定义域和奇偶性，然后利用作差法，我们先讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性．再根据奇函数在对称区间上单调性相同，易判断出函数f（x）=x+
（a＞0）的单调性．
| a |
| x |
解答：解：f（x）=x+
（a＞0），
∵定义域为{x|x∈R，且x≠0}且
f（-x）=-x+
=-（x+
）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数，
所以先讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性．
设x1＞x2＞0，
则f（x1）-f（x2）=x1+
-x2-
=（x1-x2）（1-
），
∵当0＜x2＜x1≤
时，恒有
＞1．
则f（x1）-f（x2）＜0，故f（x）在（0，
]上是减函数．
当x1＞x2≥
时，恒有0＜
＜1，
则f（x1）-f（x2）＞0，故f（x）在[
，+∞）上是增函数．
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，-
]上为增函数；
f（x）在[-
，0）上为减函数．
综上知f（x）在（-∞，-
]，[
，+∞）上为增函数；f（x）在[-
，0），（0，
]上为减函数．
| a |
| x |
∵定义域为{x|x∈R，且x≠0}且
f（-x）=-x+
| a |
| -x |
| a |
| x |
∴f（x）为奇函数，
所以先讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性．
设x1＞x2＞0，
则f（x1）-f（x2）=x1+
| a |
| x 1 |
| a |
| x2 |
| a |
| x1x2 |
∵当0＜x2＜x1≤
| a |
| a |
| x1x2 |
则f（x1）-f（x2）＜0，故f（x）在（0，
| a |
当x1＞x2≥
| a |
| a |
| x1x2 |
则f（x1）-f（x2）＞0，故f（x）在[
| a |
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，-
| a |
f（x）在[-
| a |
综上知f（x）在（-∞，-
| a |
| a |
| a |
| a |
点评：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，作差法是证明和判断单调性时最常用的方法，利用奇函数在对称区间上单调性相同能简化本题的解题步骤．
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