Question

7．若向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=3，则|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|的取值范围是[$\frac{5}{4}$，$\frac{13}{4}$]．

Answer 1

分析 设向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，由数量积的计算公式可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{4}{5}$，分析可得180°≥θ＞90°，
由-1≤cosθ＜0，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ=-$\frac{4}{5}$，得出|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|的取值范围．

解答 解：设向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
对于向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$有：|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2①，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=3②，
①²-②²可得：4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-5，即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{5}{4}$，
且向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角θ满足0°≤θ≤180°，
∴有-1≤cosθ≤1，
由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ=-$\frac{5}{4}$，
∴|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{-\frac{5}{4}}{cosθ}$，
∵|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|≥0，∴-1≤cosθ＜0，
∴|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|≥$\frac{5}{4}$；
又①²+②²得：2${\overrightarrow{a}}^{2}$+2${\overrightarrow{b}}^{2}$=13，
∴${|\overrightarrow{a}|}^{2}$+${|\overrightarrow{b}|}^{2}$=$\frac{13}{2}$，
且${|\overrightarrow{a}|}^{2}$+${|\overrightarrow{b}|}^{2}$≥2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|，
∴|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|≤$\frac{13}{4}$；
综上，$\frac{5}{4}$≤|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|≤$\frac{13}{4}$．
故答案为：[$\frac{5}{4}$，$\frac{13}{4}$]．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算问题，掌握数量积与夹角公式是解题的关键．