题目内容
17．椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，D为椭圆短轴上的一个顶点，DF1的延长线与椭圆相交于G．△DGF2的周长为8，|DF1|=3|GF1|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过椭圆E的左顶点A作椭圆E的两条互相垂直的弦AB、AC，试问直线BC是否恒过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．
分析 （Ⅰ）根据三角形的周长求出a的值，设G（x0，y0），求出b，c的值，从而求出椭圆E的方程即可；
（Ⅱ）分别设出AB，AC的斜率，联立直线和圆的方程组，分别求出B、C的坐标，求出直线BC的方程，从而求出直线恒过的定点即可．
解答 解：（Ⅰ）由△DGF2的周长是8，得：4a=8，解得：a=2，
由|DF1|=3|GF1|且G在DF1的延长线上，
得$\overrightarrow{DG}$=$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{{DF}_{1}}$，设G（x0，y0），
则（x0，y0-b）=$\frac{4}{3}$（-c，-b），x0=-$\frac{4}{3}$c，y0=-$\frac{1}{3}$b，
由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得：c2=2，
∴b2=2，椭圆E的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）A（-2，0），直线AB、AC均有斜率，
设AB：y=k（x+2），AC：y=-$\frac{1}{k}$（x+2），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=k（x+2）}\end{array}\right.$，得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2-4=0，
解得：x1=-2，x2=-$\frac{{4k}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}$，
当x2=-$\frac{{4k}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}$时，y2=$\frac{4k}{{2k}^{2}+1}$
∴B（-$\frac{{4k}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}$，$\frac{4k}{{2k}^{2}+1}$），
同理C（$\frac{{2k}^{2}-4}{{k}^{2}+2}$，-$\frac{4k}{{k}^{2}+2}$），
直线BC的方程是3kx+2（k2-1）y+2k=0，
直线BC恒过定点（-$\frac{2}{3}$，0）．
点评 本题考查了求椭圆方程问题，考查直线和椭圆的关系以及转化思想，是一道中档题．
小学课时特训系列答案| A． | 30.4＜40.2＜log0.40.5 | B． | ${3^{0.4}}＜{log_{0.4}}0.5＜{4^{0.2}}$ | ||
| C． | ${log_{0.4}}0.5＜{3^{0.4}}＜{4^{0.2}}$ | D． | ${log_{0.4}}0.5＜{4^{0.2}}＜{3^{0.4}}$ |
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，$∠BC{C_1}=\frac{π}{3}，AB=B{B_1}=2，BC=1，D$为CC1的中点．
某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．
如图所示，四边形AMNC为等腰梯形，△ABC为直角三角形，平面AMNC与平面ABC垂直，AB=BC，AM=CN，点O、D、E分别是AC、MN、AB的中点．过点E作平行于平面AMNC的截面分别交BD、BC于点F、G，H是FG的中点．