Question

1．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AP=AD=1，点E在PC上，且PE=$\frac{1}{2}$EC，点F是PD的中点．
（1）求证：PC⊥AF；
（2）求三棱锥A-CEF的体积．

Answer 1

分析 （1）要证PC⊥AF，因为PC?面PCD，可证AF⊥面PCD，由已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，易得AF⊥CD，再由PA=AD，点F是棱PD的中点得到AF⊥PD，则问题得证；
（2）转换底面，求三棱锥A-CEF的体积．

解答 （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．
∵PC?平面PDC，∴PC⊥AF；
（2）解：连接BD，则BD⊥AC，
∵BD⊥PA，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∴D到平面PAC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵点F是PD的中点，
∴F到平面PAC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∵点E在PC上，且PE=$\frac{1}{2}$EC，
∴S_△EAC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴三棱锥A-CEF的体积V=V_F-EAC=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{1}{18}$．

点评 本题考查了由线面垂直得线线垂直，考查了三棱锥A-CEF的体积，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．