题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得 $数学公式$ ，则该离心率e的取值范围是________．

[ $\text{[math]}$ -1，1）
分析：由 $\text{[math]}$ =e结合椭圆离心率的定义可得 $\text{[math]}$ +1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =e+1，可求得PF₂= $\text{[math]}$ ，而a-c≤PF₂≤a+c，从而可求得离心率e的取值范围．
解答：依题意，得 $\text{[math]}$ +1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =e+1，
∴PF₂= $\text{[math]}$ ，又a-c≤PF₂≤a+c，
∴a-c≤ $\text{[math]}$ ≤a+c，不等号两端同除以a得，
1-e≤ $\text{[math]}$ ≤1+e，
∴ $\text{[math]}$ ，解得e≥ $\text{[math]}$ -1，
又0＜e＜1，
∴ $\text{[math]}$ -1≤e＜1．
故答案为：[ $\text{[math]}$ -1，1）
点评：本题考查椭圆的离心率及椭圆的简单几何性质，求得PF₂= $\text{[math]}$ ，利用a-c≤PF₂≤a+c解决问题是关键，也是难点，属于中档题．

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