题目内容

已知椭圆的左右焦点分别是,直线与椭圆交于两点且当时,M是椭圆的上顶点,且△的周长为6.

(1)求椭圆的方程;

(2)设椭圆的左顶点为A,直线与直线:

分别相交于点,问当变化时,以线段为直径的圆

轴截得的弦长是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,说明理由.

解:(1)当时,直线的倾斜角为,所以:…………3分

解得:, …………………………………………………………5分

所以椭圆方程是:;…………………………………………………………6分

时,直线的方程为:,此时,点的坐标分别是,又点坐标是,由图可以得到两点坐标分别是,以为直径的圆过右焦点,被轴截得的弦长为6,猜测当变化时,以为直径的圆恒过焦点,被轴截得的弦长为定值6,………………………………………………………………8分

证明如下:设点点的坐标分别是,则直线的方程是:

所以点的坐标是,同理,点的坐标是,…………………9分

由方程组得到:

所以:,………………………………………11分

从而:

=0,

所以:以为直径的圆一定过右焦点,被轴截得的弦长为定值6。……………13分

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