Question

已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点C（-1，0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，试问在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）椭圆方程为。
（2）在x轴上存在点M（）， 使是与K无关的常数.

试题分析：（1）∵椭圆离心率为，
∴，∴.        1分
又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得.        2分
所以.                          4分
∴椭圆方程为，即.           5分
（2）在x轴上存在点M，使是与K无关的常数.   6分
证明：假设在x轴上存在点M（m,0）,使是与k无关的常数，
∵直线L过点C（-1，0）且斜率为K,∴L方程为，
由 得.      7分
设，则      8分
∵
∴              9分
=
=
=
=                 10分
设常数为t，则.                11分
整理得对任意的k恒成立，
解得，                    12分
即在x轴上存在点M（）， 使是与K无关的常数.       13分
点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质，建立了a,bac的方程组。（2）作为研究，应用韦达定理，建立了m的函数式，利用函数观点，求得m的值，肯定存在性，使问题得解。