Question

已知椭圆C₁的中心在原点，离心率为，焦点在x轴上且长轴长为10．过双曲线C₂：右焦点F₂作垂直于x轴的直线交双曲线C₂于M、N两点．
（I）求椭圆C₁的标准方程；
（II）若双曲线C₂与椭圆C₁有公共的焦点，且以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A，求双曲线C₂的标准方程；
（III）若以MN为直径的圆与双曲线C₂的左支有交点，求双曲线C₂的离心率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）先设椭圆C₁的标准方程为，根据椭圆的几何列出方程即可求出各个系数，从而得出椭圆C₁的标准方程；
（II）设双曲线的右焦点F₂（c.0），将x=c代入双曲线方程，得M、N两点的纵坐标，得出|MN|=，又以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A，且|AF₂|=a+c，从而建立等式求出离心率，最后即得双曲线C₂的标准方程；
（III）若以MN为直径的圆与双曲线C₂的左支有交点，则圆的半径至少要取到a+c，即有a+c≤，两边同除以a²，即可求出双曲线C₂的离心率的取值范围．
解答：解：（I）设椭圆C₁的标准方程为，根据题意：
2a₁=10，则a₁=5．又e₁==，∴c₁=4，b₁=3
∴椭圆C₁的标准方程为
（II）设双曲线的右焦点F₂（c.0），将x=c代入双曲线方程，得y=，即为M、N两点的纵坐标，即|MN|=
∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A，且|AF₂|=a+c，
∴a+c=，
即a²+ac=b²=c²-a²，
整理，得2a²+ac-c²=0，即有e²-e-2=0，又e＞1
∴e=2
又双曲线C₂与椭圆C₁有公共的焦点，则c=4
∴a=2，b²=12
双曲线C₂的标准方程为
（III）若以MN为直径的圆与双曲线C₂的左支有交点，
∴圆的半径至少要取到a+c，即有a+c≤，
两边同除以a²，得
e²-e-2≥0，又e＞1
∴e≥2
故双曲线C₂的离心率的取值范围为[2，+∞）．
点评：本题考查圆锥曲线的综合问题，着重考查其标准方程和几何性质，待定系数法求圆锥曲线的方程，属于中档题．