题目内容

已知向量
a
=(cos2x，sin2x)，
b
=(
3
，-1)，设f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ） 求f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ） 若锐角α满足f（α）=1，求tan2α的值．
分析：（I）由题意，可先由向量数量积的坐标表示求出f（x）的三角表示式，并将其化简，根据化简后的解析式求它的最值，利用周期公式求周期即可；
（Ⅱ）由题意，可根据f（α）=1得出cos（2α+
π
6
）=
1
2
，再判断出角2α+
π
6
的范围从而利用同角三角函数的基本关系求出tan（2α+
π
6
）的值，再由正切的和角公式将其展开即可得到tan2α的
方程，解此方程求出tan2α的值
解答：解：由题意向量
a
=(cos2x，sin2x)，
b
=(
3
，-1)，f(x)=
a
•
b
．
∴f(x)=
a
•
b
=
3
cos2x-sin2x=2cos（2x+
π
6
）
（1）由上求解知，函数的最大值是2，最小正周期是
2π
2
=π
（2）∵锐角α满足f（α）=1
∴2cos（2α+
π
6
）=1即cos（2α+
π
6
）=
1
2

由于锐角α，可得2α+
π
6
是锐角，由此得sin（2α+
π
6
）=
3
2

∴tan（2α+
π
6
）=
3

∴
tan2α+
3
3
1-
3
3
tan2α
=
3
，
解得tan2α=
3
3
点评：本题考查数量积的坐标表示，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，两角和的正切公式，解题的关键是利用三角公式建立tan2α的方程，通过解方程解出tan2α的值，本题考查了方程的思想，方程思想是高中数学的重要思想方法，求值的题都要将题设中等量关系转化为方程求解，本题涉及到的知识点较多，综合性强
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相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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