Question

数列{a_n}满足a₁=1，=，记Sn=，若S_2n+1-S_n≤对任意的n（n∈N^*）恒成立，则正整数t的最小值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7

Answer 1

【答案】分析：先求出 数列{a_n²}的通项公式，令 g（n）=S_2n+1-S_n，化简g（n）-g（n+1）的解析式，判断符号，得出g（n）为减数列的结论，从而得到 ，可求正整数t的最小值．
解答：解：∵=，
∴，
∴，
∵a₁=1，
∴是首项为1，公差为4的等差数列，
∴=4n-3，
∴，
∴S_n==+++…+
令 g（n）=S_2n+1-S_n，
而g（n）-g（n+1）
=，
为减数列，
所以：，
而t为正整数，所以，t_min=10．
故选A．
点评：本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题，学会用不等式处理问题．本题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．