题目内容
在△ABC中，B=60°，AC=
，则AB+3BC的最大值为
| 3 |
2
| 13 |
2
．| 13 |
分析：△ABC中，B=600，AC=
，由正弦定理，得
=
=
=
=2，所以AB=2sinC，BC=2sinA．由此能求出AB+3BC的最大值．
| 3 |
| AB |
| sinC |
| BC |
| sinA |
| AC |
| sinB |
| ||
| sin60° |
解答：解：∵B=60°，A+B+C=180°，∴A+C=120°，
由正弦定理，得
=
=
=
=2，
∴AB=2sinC，BC=2sinA．
∴AB+3BC=2sinC+6sinA=2sin（120°-A）+6sinA
=2（sin120°cosA-cos120°sinA）+6sinA
=
cosA+7sinA
=2
sin（A+φ），（其中tanφ=
）
所以AB+3BC的最大值为2
．
故答案为：2
．
由正弦定理，得
| AB |
| sinC |
| BC |
| sinA |
| AC |
| sinB |
| ||
| sin60° |
∴AB=2sinC，BC=2sinA．
∴AB+3BC=2sinC+6sinA=2sin（120°-A）+6sinA
=2（sin120°cosA-cos120°sinA）+6sinA
=
| 3 |
=2
| 13 |
| 7 | ||
|
所以AB+3BC的最大值为2
| 13 |
故答案为：2
| 13 |
点评：本题考查AB+3BC的最大值的求法，解题时要认真审题，注意正弦定理和三角函数恒等变换的合理运用．
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