题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
①当t＞
时，连接C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②当线段A′C′与射线BB，有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
①当t＞
| 3 |
| 5 |
②当线段A′C′与射线BB，有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．
解（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=
=5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴当AD=AB时，5t=5，∴t=1．
∴AE=AC+CE=3+3t=6，∴DE=6-5=1．
（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点∴GE=2．
当AD＜AE（即t＜
）时，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
若△DEG∽△ACB，则
=
，
若△DEG∽△BCA，则
=
．
即有
=
或
=
成立，
∴t=
或t=
．
当AD＞AE．（即t＞
）时，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3．，
若△DEG与△ACB相似，则
=
或
=
．
∴
=
或
=
．
所以t=
或t=
．
综上得，当t=
或
或
或
时．△DEG∽△ACB．
（3）①由轴对称变换得：AA′⊥DH，CC′⊥DH，
∴AA′∥CC′．易知OC≠AH故AA′≠CC′，
所以四边形ACC′A′是梯形．
∵∠A=∠A，∠AHD=∠ACB=90°．
∴△AHD∽△ACB．∴
=
=
．
∴AH=3t，DH=4t
．∵sin∠ADH=sin∠CDO
∴
=
，即
=
∴CO=3t-
．
∴AA′=2AH=6t，CC′=2CO=6t-
．
∵OD=CD•cos∠CD0=（5t-3）×
=4t-
．
∴OH=DH-OD=
．
∴S=
（AA′+CC′）•OH=
（6t+6t-
）×
=
t-
．
②当A′在BB′上时，A′和点B重合时，AH=
AB=
．此时cos∠BAC=
=
，得AD=
=
=5t，∴t=
；
当C′在BB′上时，此时CC′=AB=5，∴CC′=6t+6t-
=5，t=
=
．
故当线段A′C′与射线BB′有公共点时所求t∈[
，
]．
∴AB=
| 32+42 |
∵AD=5t，CE=3t，
∴当AD=AB时，5t=5，∴t=1．
∴AE=AC+CE=3+3t=6，∴DE=6-5=1．
（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点∴GE=2．
当AD＜AE（即t＜
| 3 |
| 2 |
若△DEG∽△ACB，则
| DE |
| EG |
| AC |
| BC |
若△DEG∽△BCA，则
| DE |
| EG |
| BC |
| AC |
即有
| 3-2t |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3-2t |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
∴t=
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 6 |
当AD＞AE．（即t＞
| 3 |
| 2 |
若△DEG与△ACB相似，则
| DE |
| EG |
| AC |
| BC |
| DE |
| EG |
| BC |
| AC |
∴
| 2t-3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 2t-3 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
所以t=
| 9 |
| 4 |
| 17 |
| 6 |
综上得，当t=
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 6 |
| 9 |
| 4 |
| 17 |
| 6 |
（3）①由轴对称变换得：AA′⊥DH，CC′⊥DH，
∴AA′∥CC′．易知OC≠AH故AA′≠CC′，
所以四边形ACC′A′是梯形．
∵∠A=∠A，∠AHD=∠ACB=90°．
∴△AHD∽△ACB．∴
| AH |
| AC |
| DH |
| BC |
| AD |
| AB |
∴AH=3t，DH=4t
．∵sin∠ADH=sin∠CDO
∴
| AH |
| AD |
| CO |
| CD |
| 3 |
| 5 |
| CO |
| 5t-3 |
∴CO=3t-
| 9 |
| 5 |
∴AA′=2AH=6t，CC′=2CO=6t-
| 18 |
| 5 |
∵OD=CD•cos∠CD0=（5t-3）×
| 4 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
∴OH=DH-OD=
| 12 |
| 5 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 18 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
| 72 |
| 5 |
| 108 |
| 25 |
②当A′在BB′上时，A′和点B重合时，AH=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| AH |
| AD |
| AC |
| AB |
| AH•AB |
| AC |
| 25 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
当C′在BB′上时，此时CC′=AB=5，∴CC′=6t+6t-
| 18 |
| 5 |
| 33 |
| 30 |
| 11 |
| 10 |
故当线段A′C′与射线BB′有公共点时所求t∈[
| 5 |
| 6 |
| 11 |
| 10 |
练习册系列答案
相关题目
是⊙
的直径，
、
是⊙
是
的角平分线，过点
，交
的延长线于
点，
，垂足为点
，
是⊙
，那么
的值等于 。