Question

过双曲线

x2

3

-

y2

6

=1的右焦点F₂，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F₁为左焦点．
（1）求|AB|；
（2）求△AOB的面积；
（3）求证：|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|BF₁|．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线的标准方程，确定焦点坐标，进而可得直线AB的方程，与双曲线联立，利用韦达定理，可计算|AB|；
（2）求出原点O到直线AB的距离，即可求得△AOB的面积；
（3）利用双曲线的定义，即可证得结论．

解答：（1）解：由双曲线的方程得a=

3

，b=

6

，
∴c=

a2+b2

=3，F₁（-3，0），F₂（3，0）．
∴直线AB的方程为y=

3

3

（x-3）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y= 3 3 (x-3) x2 3 - y2 6 =1

得5x²+6x-27=0．
∴x₁+x₂=-

6

5

，x₁x₂=-

27

5

．
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+ 1 3

•

36 25 + 108 5

=

16 3

5

（2）解：直线AB的方程变形为

3

x-3y-3

3

=0．
∴原点O到直线AB的距离为d=

|-3 3 |

( 3 )2+(-3)2

=

3

2

．
∴S_△AOB=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

16 3

5

×

3

2

=

12 3

5

．…（8分）
（3）证明：如图，由双曲线的定义得
|AF₂|-|AF₁|=2

3

，|BF₁|-|BF₂|=2

3

，
∴|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|BF₁|…（12分）

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．