Question

【题目】已知分别为椭圆右顶点和上顶点，且直线的斜率为，右焦点到直线的距离为．

求椭圆的方程；

若直线 与椭圆交于两点，且直线的斜率之和为1，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

先由直线AB的斜率得出，于是得出，再由点F到直线AB的距离，得出b的值，从而可求出a的值，从而可写出椭圆C的方程；设点、，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，由直线BM、BN的斜率之和为1，结合韦达定理得出k与m所满足的关系式，结合m的范围，可得出k的范围，再由，得出k的另一个范围，两者取交集可得出实数k的取值范围．

，，则，直线AB：，

，，．

因此，椭圆C的方程为；

设点、，

将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y并整理得，

，由韦达定理得，．

，

，

，，

又，

，综上所述，．

因此，实数k的取值范围是．