Question

（14分）如图所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点.

（1）求的长；

（2）求cos< >的值；

（3）求证：A₁B⊥C₁M.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）见解析。

【解析】

试题分析：如图，建立空间直角坐标系O—xyz.

（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）

∴| |=.

（2）依题意得A₁（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B₁（0，1，2）

∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=

∴cos<，>=.

（3）证明：依题意，得C₁（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A₁B⊥C₁M.

考点：本题主要考查向量的坐标运算、数量积、模的概念及计算、夹角公式的应用，考查了考生的空间想象能力、逻辑推理能力。

点评：本题通过距离空间直角坐标系，将几何问题转化成空间向量，运用空间向量的基本知识，是“用数学”的好题.