Question

如图所示，直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠BCA=90°，CA=CB=1，AA'=2，M，N分别是A'B'、A'A的中点．
（1）求证：A'B⊥C'M；
（2）求异面直线BA'与CB'所成交的大小；
（3）（理）求BN与平面CNB'所称的角的大小；
（4）（理）求二面角A-BN-C的大小．

Answer 1

分析：以C为坐标原点，CB，CA，CC′分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，从而可证线线垂直，可求线线角，线面角，二面角，注意法向量的求解方法．

解答：解：（1）以C为坐标原点，CB，CA，CC′分别为x轴，y轴，z轴，则B（1，0，0），A/(0，1，2)，C/(0，0，2)，M(

1

2

，

1

2

，2)
∴

A/B

=(1，-1，-2)，

C/M

=(

1

2

，

1

2

，0)
∴

A/B

•

C/M

=0
∴A'B⊥C'M；
（2）∵

BA/

=(-1，1，2)，

CB/

=(1，0，2)
∴cos＜

BA/

，

CB/

＞ =

3

30

=

30

10

∴异面直线BA'与CB'所成角为arccos

30

10

；
（3）设BN与平面CNB'所成的角为α，平面CNB'的一个法向量为（x，y，z）
∵

CN

=(0，1，1)， 

CB/

=(1，0，2)
∴

y+z=0 x+2z=0

∴平面CNB'的一个法向量为（2，1，-1）
∵

NB

=(1，-1，-1)
∴sinα=

2

3 × 6

=

2

3

∴BN与平面CNB'所成的角为arcsin

2

3

；
（4）设平面NBC的一个法向量为（a，b，c ），二面角A-BN-C的大小为β
∵

CB

=(1，0，0)，

CN

=(0，1，1)
∴

a=0 b+c=0

∴平面NBC的一个法向量为（0，1，-1）
∵平面ABN的一个法向量为（

1

2

，

1

2

，0）
∴cosβ=

1

2

，∴β=60°
∴二面角A-BN-C的大小为60°

点评：本题的考点是与二面角有关的立体几何综合问题，主要考查线线垂直，线面角、二面角等，关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解．