题目内容

如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA1=,点D是AB的中点.

（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；

（2）求二面角A-A1B-C的平面角的正切值;

（3）求三棱锥B1—A1BC的体积；

（4）求BC1与平面A1BC所成角的正弦值.

（1）证明:∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，?

∴面ABC⊥面AA1B1B,交线为AB.?

又∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°,?∴CA=CB.?

又D是AB的中点，∴CD⊥AB.?

∴CD⊥平面AA1B1B.?

（2）解析：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=.?

作DE⊥A1B于E，连结CE.?

由（1）知，CD⊥面AA1B1B，∴CE在面AA1B1B内的射影是DE.?

由三垂线定理知CE⊥A1B,?∴∠CED?是二面角C-A1B-A的平面角.?

又∵D是AB中点，?

∴DE=DB=.?

又CD=AB=,?

在Rt△CDE中，tan∠CED=,故二面角A-A1B-C的平面角的正切值为.?

（3）解析：由等积代换法得VB1—A1BC=VC—A1B1B?，∵AA1B1B是矩形，∴△AA1B的面积等于△A1B1B的面积.?

∴VC—A1B1B?=VC—AA1B?=·S△AA1B?·CD=.?

∴VB1—A1BC?=.?

（4）解析：设C1B与面A1BC所成的角为θ,点C1到平面A1BC的距离为d.?

∴d=C1B·sinθ.又由直三棱柱性质得C1B=.?

C1到面A1BC的距离是以C1为顶点,△A1BC为底面的三棱锥C1—A1BC的高,∴VC1—A1BC=VB—A1C1C .?

∴△A1C1C的面积是矩形AA1C1C的面积的一半.?

∴S△A1C1C?=.?

∵BC⊥AC，CC1⊥BC，?

∴BC⊥面AA1C1C.?

∴VB—A1C1C?=×S△A1C1C ×BC=.?

又在△A1BC中，A1B==2，A1C=,BC=1，BC⊥A1C.?

∴S△A1BC?=·A1C·BC?

=.?

∴VC1—A1BC?=.?

∴.?

∴d=.?

又d=C1Bsinθ,即sinθ=,?

∴sinθ=,?

即BC1与平面A1BC所成角的正弦值为.


练习册系列答案
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（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
（2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．
如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AA
=
c
，则
DE
=
1
2
a
+
1
2
b
1
2
a
+
1
2
b
（用
a
，
b
，
c
表示）．
如图所示，直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠BCA=90°，CA=CB=1，AA'=2，M，N分别是A'B'、A'A的中点．
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（4）（理）求二面角A-BN-C的大小．
如图所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,D为棱AC的中点,且AB=BC=BB1=a.

(1)求证:AB1∥平面BC1D;

(2)求异面直线AB1与BC1所成的角;

(3)求点A到平面BC1D的距离.

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