Question

（2013•镇江二模）已知抛物线C1：y2=x+1和抛物线C2：y2=-x-a在交点处的两条切线互相垂直，求实数a的值．

Answer 1

分析：联立抛物线方程即可得到交点坐标，再利用导数即可得到切线的斜率，利用相互垂直即可得到斜率乘积等于-1即可得出a．

解答：解：联立

y2=x+1 y2=-x-a

解得

x=- a+1 2 y=± 1-a 2

，取交点P(-

a+1

2

，

1-a 2

)．
取C₁在x上方的部分：y=

x+1

，则y′=

1

2 x+1

，在点P处的切线斜率k₁=

1

2(1-a)

；
取C₂在x上方的部分：y=

-x-a

，则y′=

-1

2 -x-a

，在点P处的切线斜率k₂=

-1

2(1-a)

．
∵两条抛物线在交点处的两条切线互相垂直，
∴k₁k₂=-1，即

-1

2(1-a)

=-1，解得a=

1

2

．

点评：熟练解出方程组的解、利用导数的几何意义得出切线的斜率是解题的关键．