Question

已知两定点F₁（，0），F₂（，0）满足条件的点P的轨迹方程是曲线C，直线y=kx-2与曲线C交于A、B两点，且．
（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线C上存在一点D，使，求m的值及点D到直线AB的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知两定点F₁（，0），F₂（，0）满足条件，可知轨迹为焦点在x轴上的双曲线的左支，进而可求曲线C的方程；
（2）将直线方程代入双曲线的方程，利用弦长公式求AB的长，从而可得直线的斜率，进而利用向量求出点D的坐标，利用D满足曲线C的方程，即可求m的值及点D到直线AB的距离．
解答：解：（1）由已知两定点F₁（，0），F₂（，0）满足条件，可知轨迹为焦点在x轴上的双曲线的左支．
∵2a=2，∴a=1，
∵，∴b²=c²=a²=1
∴曲线C的方程为x²-y²=1（x≤-1）
（2）由得（1-k²）x²+4kx-5=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则，解之得
∴，解之得k²=4
又∵
∴k=-2
∴
由得，即
∵D在x²-y²=1（x≤-1）上，
∴，∴
∴D（）    
∵直线AB：2x+y+2=0
∴点D到直线AB的距离为
点评：本题重点考查双曲线的轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长公式，考查点到直线的距离公式，综合性较强．