Question

（2012•江西模拟）已知两定点F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，满足条件|

PF

2|-|

PF

1|=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点．如果|

AB

|=6

3

，且曲线E上存在点C，使

OA

+

OB

=m

OC

．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）求AB的直线方程；
（Ⅲ）求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）点P满足条件|

PF

2|-|

PF

1|=2，由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为焦点的双曲线的左支，由此可得曲线E的方程；
（Ⅱ） 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程代入曲线方程，根据直线与双曲线左支交于两点A，B，利用韦达定理及|

AB

|=6

3

，即可求得直线AB的方程；
（Ⅲ）设C（x_c，y_c），由已知

OA

+

OB

=m

OC

，得(mxc，myc)=(

x1+x2

m

，

y1+y2

m

)，从而可得点C的坐标代入曲线E的方程，即可求得m的值．

解答：解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为焦点的双曲线的左支，且c=

2

，a=1，∴b=1
故曲线E的方程为x²-y²=1（x＜0）…．（4分）
（Ⅱ） 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意建立方程组

y=kx-1 x2-y2=1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，由

1-k2≠0 △=(2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

解得-

2

＜k＜-1…．（6分）
又∵|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -2k 1-k2 )2-4× -2 1-k2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

依题意得 2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

=6

3

整理后得 28k⁴-55k²+25=0
∴k2=

5

7

或k2=

5

4

但-

2

＜k＜-1，∴k=-

5

2

故直线AB的方程为

5

2

x+y+1=0…．（9分）
（Ⅲ）设C（x_c，y_c），由已知

OA

+

OB

=m

OC

，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx_c，my_c）
∴(xc，yc)=(

x1+x2

m

，

y1+y2

m

)，（m≠0）
又x1+x2=

2k

k2-1

=-4

5

，y1+y2=k(x1+x2)-2=

2k2

k2-1

-2=

2

k2-1

=8
∴点C(-

4 5

m

，

8

m

)，
将点C的坐标代入曲线E的方程，得

80

m2

-

64

m2

=1得m=±4，
但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴m=4，…（13分）

点评：本题考查双曲线的定义，考查直线与曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是正确运用双曲线的定义，利用韦达定理解决弦长问题．