Question

已知两定点F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，满足条件|

PF

2|-|

PF

1|=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A，B两点 如果|

AB

|=6

3

，且曲线E上存在点C，使

OA

+

OB

=m

OC

，求m的值．

Answer 1

分析：由双曲线的定义可知曲线E的方程，将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理可确定k的范围，利用弦长公式，可求k的值，根据

OA

+

OB

=m

OC

，可得点C的坐标代入曲线E的方程，即可得到结论．

解答：解：由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为焦点的双曲线的左支，且c=

2

，a=1，
所以b=1．
故曲线E的方程为x²-y²=1（x＜0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx-1 x2-y2=1

，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
由已知得，

△=(2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1•x2= -2 1-k2 ＞0

，解得-

2

＜k＜-1．
∵|AB|=

(1+k2)[( -2k 1-k2 )2-4• -2 1-k2

=2

(1+k2)× 2-k2 (1-k2)2

=6

3

．
即28k⁴-55k²+25=0，∴k2=

5

7

或k2=

5

4

．
又∵-

2

＜k＜-1，∴k=-

5

2

．
故x1+x2=

2k

k2-1

=-4

5

，y1+y2=k(x1+x2)-2=

2k2

k2-1

-2=

2

k2-1

=8．
设C（x_c，y_c），由已知

OA

+

OB

=m

OC

，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx_c，my_c），且m≠0．
∴

xc= x1+x2 m = -4 5 m yc= y1+y2 m = 8 m

，即C（

-4 5

m

，

8

m

）．
将点C的坐标代入曲线E的方程，得

80

m2

-

64

m2

=1，∴m=±4．
但当m=-4时，点C不在曲线E上，不合题意．
∴m=4．

点评：本题考查双曲线的定义，考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长公式的运用，考查向量知识，属于中档题．