Question

（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）

如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点 转动，分别交边、于点、；设，，其中，．

（1）求表达式的值，并说明理由；

（2）求面积的最大和最小值，并指出相应的、的值．

Answer 1

(Ⅰ)  3   (Ⅱ)  或

解析:

（1）如图延长AG交BC与F，G为△ABC的中心

F为BC的中点，则有 

，，

　即………………………………3分

D、G、E三点共线

　　

故  ＝3  ………………………………6分

（2）△ABC是边长为1的正三角形，

，     S＝mn…………………8分

由=3，0＜m1,0<n1n=,　　即。………10分

S＝mn＝

设t=m-则m=t+（）S=mn=（t++）……………12分

　易知在为减函数，在为增函数。

t=，即，时，取得最小值，

即S取得最小值…………………14分

又，取得最大值是，

则S取得最大值，此时或…………………16分