题目内容

已知 $数学公式$ ， $数学公式$ 都是整数，且满足（ $数学公式$ + $数学公式$ ）（ $数学公式$ +3 $数学公式$ ）=105，（ $数学公式$ + $数学公式$ ）•（ $数学公式$ +3 $数学公式$ ）=39，则 $数学公式$ 和 $数学公式$ 的夹角为

A.
30°
B.
60°
C.
120°
D.
150°

C
分析：通过（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ ）=105， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是整数，解出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值，展开化简（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ ）=33，可求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的夹角．
解答：因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是整数，所以（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ ）=105=7×15=5×21=1×105
只有（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ ）=7×15时符合题意，解得 $\text{[math]}$ =3， $\text{[math]}$ =4；
则（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ²+3 $\text{[math]}$ ²+4 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ cosθ=57+36cosθ=39
cosθ=- $\text{[math]}$ 所以 θ=120°
故选C
点评：本题考查平面向量数量积的运算，两个向量的夹角，是中档题．