Question

（08年浦东新区模拟理）  已知二次曲线C_k的方程：．

（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；

（2）若双曲线C_k与直线有公共点且实轴最长，求双曲线方程；

（3）、为正整数，且<，是否存在两条曲线C_m、C_n，其交点与点，满足？若存在，求、的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解析：（1）当且仅当即 时，方程表示椭圆；

当且仅当，即时，方程表示双曲线．

（2）解法一：由化简得：--6分

≥0，即≥6或k≤4（舍）

∵双曲线实轴最长，∴k取最小值6时，最大即双曲线实轴最长，

此时双曲线方程为．  

解法二：若C_k表示双曲线；则，不妨设双曲线方程为 

联立得 

与直线有公共点，

∴即，∴，

∴实轴最长的双曲线方程为．

解法三：不妨先求得关于直线的对称点，

设直线与双曲线左支交点为M，则

 

∴，∴实轴最长的双曲线方程为．

解法四：设双曲线与直线公共点为 

则 有解，即有解，

∴

∴， ∴实轴最长的双曲线方程为．

（3）由（1）知、、是椭圆，、、、是双曲线，结合图像的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点

设，，， 

则根据椭圆、双曲线定义及（即），应有

，

 所以+=8，

所以这样的、存在，且或或