Question

【题目】已知，其中.

（1）若，写出的单调区间：

（2）若函数恰有三个不同的零点，且这些零点之和为-2，求a、b的值；

（3）若函数在上有四个不同零点，求的最大值。

Answer 1

【答案】（1）递减，递增；（2）；（3）4

【解析】

（1）由，得出函数的解析式，再做出图像可得函数的单调区间；

（2）令，即或，再由，可得方程中有两个不等的实根，要使函数恰有三个不同的零点，且这些零点之和为-2，，则需方程有两个相等的实根，可建立关于的方程，解之可得的值；

（3）由，即或，设的两根为，并且可得，的两根为，并且可得，所以两根中一正一负，再由均在内，得的负根，从而可得的最大值.

（1）当时，，做出图像如下图1所示，

所以的单调区间是：在上单调递减，在上单调递增；

（2）令，即，所以或，

整理得或，

因为，所以方程中恒成立，也即是一定有两个不等的实根，

设这两个实根为并且，要使函数恰有三个不同的零点，且这些零点之和为-2，

现需方程有两个相等的实根，设此根为，且，

所以，即，解得，

所以的值为；

（3）若，即或，

设的两根为，则，

的两根为，则，所以两根中一正一负，

，

均在内，的负根在内，

，，

所以的最大值为4.