Question

在数列中，，，且；
（1）设，证明是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项；

Answer 1

（1）略（2）（3）证明略

本题源自等差数列通项公式的推导。
（1）证明：由题设（），得
，即，．
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．
（2）由（1），
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，（）．
将以上各式相加，得（）．
所以当时，
上式对显然成立．
（3）由（2），当时，显然不是与的等差中项，故．
由可得，由得，　①
整理得，解得或（舍去）．于是．
另一方面，，
　　　　　．
由①可得，．
所以对任意的，是与的等差中项．