Question

在数列{a_n}中，a₁=-3，a_n=2a_n-1+2ⁿ+3（n≥2，且n∈N*）．
（1）设bn=

an+3

2n

(n∈N*)，证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的定义证明b_n+1-b_n=常数．
（2）由（1）得b_n是等差数列所以得到a_n=（n-1）•2ⁿ-3，再利用错位相减求数列{（n-1）•2^n_}的前n 项的和T_n=4+（n-2）•2ⁿ⁺¹，进而求出数列{a_n}的前n项和为
S_n=4+（n-2）•2ⁿ⁺¹-3n

解答：【解】（1）由题意的
∵bn+1-bn=

an+1+3

2n+1

-

an+3

2n

=

1

2n+1

[(an+1-2an)-3]
=

1

2n+1

[(2n+1+3)-3]=1，
∴数列{b_n}是首项为

a1+3

2

=

-3+3

2

=0，公差为1的等差数列．
（2）由（1）得，

an+3

2n

=0+(n-1)×1，
∴a_n=（n-1）•2ⁿ-3（n∈N^*）．
∴S_n=-3+（1×2²-3）+（2×2³-3）+…+[（n-1）•2ⁿ-3]，
即S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ-3n．
设T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ，
则2T_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减得，-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹=

4(1-2n-1)

1-2

-(n-1)•2n+1，
整理得，T_n=4+（n-2）•2ⁿ⁺¹，
从而S_n=4+（n-2）•2ⁿ⁺¹-3n（n∈N^*）．

点评：本题考查等差数列的定义与数列求和，重点考查利用错位相减法求解等差数列与等比数列乘积形式的数列求和，这也是高考的热点．