Question

16、求满足C_n⁰+C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ＜500的最大整数n．

Answer 1

分析：利用r•C_n^r=n•C_n-1^r-1，把C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ化简，不等式左边化为n•2^n-1+1，化简499为7•2⁶，求出n的值．

解答：解：r•C_n^r=n•C_n-1^r-1
∴C_n¹+2C_n²++C_n³++nC_nⁿ
=n（C_n-1⁰+C_n-1¹++C_n-1^n-1）
=n•2^n-1
∴C_n⁰+C_n¹+2C_n²+3C_n³++n•C_nⁿ
=n•2^n-1+1
原不等式化为n•2^n-1＜499
∵2⁷=128，∴n=8时，8•2⁷=2¹⁰=1024＞500．
当n=7时，7•2⁶=7×64=448＜449．
故所求的最大整数为n=7．

点评：本题考查组合及组合数公式，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．