题目内容
（1）求证：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1 （n∈N*）
（2）设n是满足Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn＜1000的最大正整数，求97n除以99的余数．
（3）当n∈N*且n＞1时，求证2＜（1+
）n＜3．
（2）设n是满足Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn＜1000的最大正整数，求97n除以99的余数．
（3）当n∈N*且n＞1时，求证2＜（1+
| 1 | n |
分析：（1）直接采用倒序相加法再结合组合数的性质即可证明结论；
（2）先对Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn进行整理，结合第一问的结论求出满足Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn＜1000的最大正整数n；再根据977=（99-2）7=C70•997-C71•996•2+…+C76•99•26-C77•27，把问题转化为-C77•27除以99的余数即可；
（3）直接根据（1+
）n=cn0+Cn1•
+Cn2•(
)2+…+Cnn•（
）n只用前两项即可证明不等式的前半部分；再通过组合数的性质对等式右边进行放缩即可证明右边．
（2）先对Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn进行整理，结合第一问的结论求出满足Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn＜1000的最大正整数n；再根据977=（99-2）7=C70•997-C71•996•2+…+C76•99•26-C77•27，把问题转化为-C77•27除以99的余数即可；
（3）直接根据（1+
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
解答：证明：（1）记S=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，
倒序则S=nCnn+（n-1）Cnn-1+…+Cn1 （2分）
∴2S=ncn0+nCn1+…+nCnn=n•2n
∴S=n•2n-1 …（2分）
解：（2）Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）Cnn
=（Cn0+Cn1+…Cnn）+（Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn） （1分）
=2n+n•2n-1＜1000
由于7•26+27=576＜1000＜1280=8•27+28，
∴n=7 …（2分）
977=（99-2）7=C70•997-C71•996•2+…+C76•99•26-C77•27
∴97n除以99的余数即为-C77•27除以99的余数70 （2分）
证明：（3）∵（1+
）n=cn0+Cn1•
+Cn2•(
)2+…+Cnn•（
）n＞cn0+Cn1•
=2 （1分）
∵cn0+Cn1•
+Cn2•(
)2+…+Cnn•（
）n
=2+
•
+…+
•
＜2+
+…+
（2分）
＜2+
+…+
=2+（1-
）+…+（
-
）
=3-
＜3 （2分）
倒序则S=nCnn+（n-1）Cnn-1+…+Cn1 （2分）
∴2S=ncn0+nCn1+…+nCnn=n•2n
∴S=n•2n-1 …（2分）
解：（2）Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）Cnn
=（Cn0+Cn1+…Cnn）+（Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn） （1分）
=2n+n•2n-1＜1000
由于7•26+27=576＜1000＜1280=8•27+28，
∴n=7 …（2分）
977=（99-2）7=C70•997-C71•996•2+…+C76•99•26-C77•27
∴97n除以99的余数即为-C77•27除以99的余数70 （2分）
证明：（3）∵（1+
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
∵cn0+Cn1•
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
=2+
| n(n-1) |
| 2! |
| 1 |
| n2 |
| n(n-1)(n-1)…2×1 |
| n! |
| 1 |
| nn |
＜2+
| 1 |
| 2! |
| 1 |
| n! |
＜2+
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| (n-1)n |
=2+（1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
=3-
| 1 |
| n |
点评：本题主要考查二项式定理的应用，属于中等难度题型，在处理有关二项式定理有关系数问题时要熟记结论以及性质．
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