Question

【题目】已知平面向量 ， （ ≠ ）满足 =2，且 与 ﹣ 的夹角为120° ， t∈R，则|（1﹣t） +t |的最小值是 ． 已知 =0，向量 满足（ ﹣ ）（ ﹣ ）=0，| ﹣ |=5，| ﹣ |=3，则 的最大值为 ．

Answer 1

【答案】；18
【解析】解：①∵平面向量 满足| |=2，且 与 ﹣ 的夹角为120°，
故当t（ ﹣ ）满足t| ﹣ |= 时，|（1﹣t） +t |（t∈R）取最小值，
此时由向量加法的三角形法则可得|（1﹣t） + |（t∈R）的最小值是 ；
②由 =0，建立如图所示的直角坐标系；
可设 =（m，0）， =（0，n）， =（x，y），
∵| ﹣ |=5，
∴m2+n2=25，记此圆为⊙M；
∵向量 满足（ ﹣ ）（ ﹣ ）=0，
∴x2+y2﹣mx﹣ny=0，
化为 + = ，
说明点C在⊙M上；
∴| |=| ﹣ |=3，
∴| |=| ﹣ |=4，
过点C分别作CD⊥y轴，CE⊥x轴，垂足分别为D，E；
设∠CBD=θ，则∠OAC=θ，
则x=4sinθ=m﹣3cosθ，
∵ =mx=4sinθ（4sinθ+3cosθ）
=16sin2θ+12sinθcosθ
=8（1﹣cos2θ）+6sin2θ
=10sin（2θ﹣φ）+8≤18；
∴ 的最大值为18．
所以答案是： ，18．