题目内容
【题目】设向量 
=（4cosα，sinα）， 
=（sinβ，4cosβ）， 
=（cosβ，﹣4sinβ）
（1）若 与 ﹣2 垂直，求tan（α+β）的值；
（2）若β∈（﹣ 
]，求| 
|的取值范围．
【答案】
（1）解： 
﹣2 
=（sinβ﹣2cosβ，4cosβ+8sinβ）
∵ 
与 ﹣2 垂直，
∴ （ ﹣2 ）=0，
即4cosαsinβ﹣8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin（α+β）﹣8cos（α+β），
则sin（α+β）=2cos（α+β），
即tan（α+β）=2，
（2）解：由 
=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），
则| |2=（sinβ+cosβ）2+（4cosβ﹣4sinβ）2=17﹣15sin2β，
∵β∈（﹣ 
]，
∴2β∈（﹣ 
， 
]，
则 
＜sin2β≤1，
则2≤17﹣15sin2β＜ 
，
则2≤| |2＜ ，
则 
≤| |＜ 
即| |的取值范围是[ ， ）
【解析】（1）根据 与 ﹣2 垂直，转化为数量积为0，结合三角函数的两角和差的公式进行转化求解即可．（2）根据向量模长的公式 进行化简，结合三角函数的有界性进行求解．
【考点精析】本题主要考查了两角和与差的正切公式的相关知识点，需要掌握两角和与差的正切公式：
才能正确解答此题．
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